Analyse : Cours de mathématiques - Première année by Arnaud Bodin et al.

By Arnaud Bodin et al.

Ce livre s'adresse aux étudiants de licence scientifique. Clair, complet et convivial, c'est l'outil de travail idéal pour aborder sereinement le programme de mathématiques du supérieur. Ce tome suggest l'intégralité du cours d'analyse de première année, illustré par de nombreuses figures et des exemples traités en détails. Cet ouvrage, issu du projet Exo7, se complète par des ressources en ligne : vidéos de cours ou exercices corrigés. Vous avez en major tout pour réussir votre première année ! Chapitres du livre Les nombres réels Les suites Limites et fonctions maintains Fonctions usuelles Dérivée d’une fonction Intégrales Développements limités Courbes paramétrées Équations différentielles Leçons de choses

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La suite (u2n+1 ) est décroissante et minorée par u0 , donc elle converge aussi vers = On en conclut que la suite (un ) converge vers = 5. Deuxième cas u0 = 1+ 5 2 . 1+ 5 2 . 1+ 5 2 . On montre de la même façon que (u2n ) est décroissante et converge vers croissante et converge aussi vers 1+ 5 2 , et que (u2n+1 ) est 1+ 5 2 . Mini-exercices. 1. Soit f (x) = 19 x 3 + 1, u0 = 0 et pour n 0 : un+1 = f (un ). Étudier en détail la suite (un ) : (a) montrer que un 0 ; (b) étudier et tracer le graphe de g ; (c) tracer les premiers termes de (un ) ; (d) montrer que (un ) est croissante ; (e) étudier la fonction g(x) = f (x) − x ; (f) montrer que f admet deux points fixes sur + , 0 < < ; (g) montrer que f ([0, ]) ⊂ [0, ] ; (h) en déduire que (un ) converge vers .

La suite (vn )n∈ est décroissante et minorée par u0 , donc elle converge vers une limite • Donc − = limn→+∞ (vn − un ) = 0, d’où = . Exemple 12. Reprenons l’exemple de ζ(2). Soient (un ) et (vn ) les deux suites définies pour n n un = 1 1 1 1 = 1 + 2 + 2 + ··· + 2 2 k 2 3 n k=1 vn = un + et . 1 par 2 . n+1 Montrons que (un ) et (vn ) sont deux suites adjacentes : 1. (a) (un ) est croissante car un+1 − un = (b) (vn ) est décroissante : 2 1 vn+1 − vn = (n+1) 2 + n+2 − 2. Pour tout n 1 : vn − un = 3.

LES SUITES 3. EXEMPLES REMARQUABLES Démonstration. Si a = 0, le résultat est évident. Supposons a = 0, et posons un = an n! 25 Alors un+1 a n+1 n! a = · n= . un (n + 1)! a n+1 u Pour conclure, on peut ou bien directement utiliser le corollaire : comme lim un+1 = 0 (car a est fixe), on a n un+1 a lim un = 0. Ou bien, comme un = n+1 , on déduit par le théorème que pour n N > 2|a| on a : et donc limn→+∞ un = 0. un+1 |a| = un n+1 |a| |a| 1 < < = N +1 N 2 Remarque. 1. Avec les notations du théorème, si on a pour tout entier naturel n à partir d’un certain rang : un+1 un > > 1, alors la suite (un )n∈ diverge.

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